الرياضيات المتناهية الأمثلة

$t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $t = - 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$1 + 2 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

خطوة 4.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 2 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 - 15$

خطوة 4.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$1 + 2 + 2 - 10 \cdot - 1 - 15$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 10$ في $- 1$ .

$1 + 2 + 2 + 10 - 15$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ و $2$ .

$3 + 2 + 10 - 15$

خطوة 4.2.2

أضف $3$ و $2$ .

$5 + 10 - 15$

خطوة 4.2.3

أضف $5$ و $10$ .

$15 - 15$

خطوة 4.2.4

اطرح $15$ من $15$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $t + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15}{t + 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 3)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$5$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(5)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 5)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 10)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 15)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(15)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 t^{3} + - 3 t^{2} + (5) t - 15$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 15$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(t + 1) (t^{3} - 3 t^{2}) + 5 t - 15$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(t + 1) + t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

$(t + 1) t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $t - 3$ .

$(t + 1) (t - 3) (t^{2} + 5)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$- 2 t^{3} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $- 2 t$ من $- 2 t^{3} - 10 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $- 2 t$ من $- 2 t^{3}$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $- 2 t$ من $- 10 t$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 2 t \cdot 5 + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $- 2 t$ من $- 2 t (t^{2}) - 2 t (5)$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $t^{4}$ بالصيغة ${(t^{2})}^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} - 15 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = t^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + u^{2} + 2 u - 15 = 0$

خطوة 9.5

حلّل $u^{2} + 2 u - 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 15$ ومجموعهما $2$ .

$- 3, 5$

خطوة 9.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- 2 t (t^{2} + 5) + (u - 3) (u + 5) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $t^{2} + 5$ من $- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أخرِج العامل $t^{2} + 5$ من $- 2 t (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

خطوة 9.7.2

أخرِج العامل $t^{2} + 5$ من $(t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3) = 0$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $t^{2} + 5$ من $(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t + t^{2} - 3) = 0$

خطوة 9.8

لنفترض أن $u = t$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $t$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

خطوة 9.9

حلّل $- 2 u + u^{2} - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 9.9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(t^{2} + 5) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

خطوة 9.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t$ .

$(t^{2} + 5) ((t - 3) (t + 1)) = 0$

خطوة 9.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

$t - 3 = 0$

$t + 1 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $t^{2} + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $t^{2} + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $t$ في $t^{2} + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$t^{2} = - 5$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

خطوة 11.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

خطوة 11.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (5)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

خطوة 11.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

خطوة 11.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$t = i \sqrt{5}$

خطوة 11.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$t = - i \sqrt{5}$

خطوة 11.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $t - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $t - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t - 3 = 0$

خطوة 12.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$t = 3$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $t + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $t + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t + 1 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$t = - 1$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$ صحيحة.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 3, - 1$

خطوة 15